Ковариационный анализ.
- 26.05.24 г.
- 9772225665000 24016
А. Ковариационный анализ (ANCOVA) фактически является дополнением к дисперсионному анализу (ANOVA).
По сути, ковариационный анализ – это дисперсионный анализ, который включает, по крайней мере, одну категориальную независимую переменную и одну количественную (метрическую, интервальную) независимую переменную.
Категориальную независимую переменную называют фактором, а количественную - ковариатой.
Различают фиксированные ковариаты и переменные ковариаты. Обычно при повторных измерениях интересуют различия в них одних и тех же величин в разные моменты времени (значимость этих различий). Если одновременно с измерениями зависимых переменных проводится измерение ковариат, то можно вычислить корреляцию между ковариатой и зависимой переменной.
Применение ковариационного анализа предполагает независимое от вариантов опыта распределение некоторой случайной величины. Если сопутствующая величина имеет отношение к изучаемым вариантам, то исключение части эффекта неправомерно, так как это ведет к исключению части эффекта изучаемых факторов. Иными словами, ковариационный анализ применяется в случаях, когда возможно использование ряда методов статистического анализа для неконтролируемых переменных.
Б. Ковариация (корреляционный момент, ковариационный момент) – это мера зависимости двух случайных величин.
В узком смысле под ковариацией понимается среднее произведение отклонений двух переменных от средних.
В широком смысле ковариация – это взаимосвязь двух переменных, при которой изменение одной переменной вызывает соответствующее изменение другой переменной.
Ковариация может быть как положительной, так и отрицательной. Если большие значения одной переменной в основном соответствуют большим значениям другой переменной или же, наоборот, меньшие значения одной переменной соответствуют меньшим значениям другой переменной, то ковариация положительна. Если большим значениям одной переменной соответствуют меньшие значения другой переменной, ковариация является отрицательной. Таким образом, знак ковариации показывает тенденцию линейной зависимости между переменными. Величину ковариации нелегко интерпретировать, поскольку она не нормирована и, следовательно, зависит от величин переменных.
Ковариацию можно определить как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин.
В теории вероятностей и статистике ковариация является мерой совместной изменчивости двух случайных величин.
Свойства ковариации:
- ковариация двух независимых случайных величин равна нулю,
- абсолютная величина ковариации двух случайных величин не превышает среднего геометрического их дисперсий,
- ковариация имеет размерность, равную произведению размерности случайных величин, то есть величина ковариации зависит от единиц измерения независимых величин (данная особенность ковариации затрудняет ее использование в целях корреляционного анализа).
В. Ковариационный анализ - это общая линейная модель, сочетающая дисперсионный анализ и регрессию.
Ковариационный анализ можно считать синтезом регрессионного анализа и дисперсионного анализа.
Ковариационный анализ оценивает, равны ли средние значения зависимой переменной на разных уровнях категориальной независимой переменной, при статистическом контроле эффектов других непрерывных переменных - ковариат.
Математически ковариационный анализ разлагает дисперсию зависимой переменной на
- дисперсию, объясняемую ковариатой,
- дисперсию, объясняемую категориальной независимой переменной,
- остаточную дисперсию.
Ковариационный анализ – это раздел анализа данных, ставящий своей целью а) исследовать характер взаимосвязи между зависимой величиной и набором количественных и качественных независимых величин и б) построить регрессионную модель зависимости.
В широком смысле ковариационный анализ использует методы дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализов и фактически объединяет их, воспроизводя логику разных видов статистического анализа экспериментальных данных. Иными словами, ковариационный анализ – это одновременное применение дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализов.
Г. Основные теоретические и прикладные вопросы ковариационного анализа относятся к линейным моделям. Если в линейной модели взаимосвязи присутствуют только категориальные переменные, то с помощью введения фиктивных переменных получается модель дисперсионного анализа. Если в линейной модели присутствуют только количественные переменные – получается модель регрессионного анализа. А при совместном введение факторов и ковариат проводится ковариационный анализ.
Ковариационный анализ наиболее целесообразен тогда, когда ковариата линейно связана с зависимой переменной и при этом не связана с факторами.
Ковариационный анализ позволяет установить, ассоциированы ли наборы данных по величине, т.е. большие значения их одного набора данных связаны с большими значениями другого набора (положительная ковариация), или, наоборот, малые значения одного набора связаны с большими значениями другого (отрицательная ковариация), или данные двух диапазонов никак не связаны (ковариация близка к нулю). После этого приступают к количественной оценке взаимосвязи двух наборов данных, представленных в безразмерном виде.
Также ковариационный анализ позволяет установить соотношение между вариацией зависимой переменой и вариацией, сопутствующей процессу эксперимента, и проводится статистическое выравнивание условий эксперимента (выравнивают обычно только итоговые данные, иными словами - средние).
Вариацию зависимой переменной, обусловленную ковариатой, исключают корректировкой среднего значения зависимой переменной в пределах каждого условия эксперимента. Затем, базируясь на скорректированных оценках, выполняют дисперсионный анализ. Значимость суммарного эффекта ковариат равно как и эффект каждой ковариаты, проверяют с помощью соответствующих F-критериев. Коэффициенты ковариат позволяют понять влияние, которое оказывается на зависимую переменную.
Ковариационный анализ обычно применяют перед дисперсионным анализом, чтобы проверить однородность выборки наблюдений по всем факторам.
Ковариационный анализ используется при планировании и статистической обработке результатов опыта как способ уменьшения ошибки эксперимента, не поддающейся непосредственному контролю (выравниванию).
Д. Для диалектики ковариационный анализ важен тем, что позволяет осуществлять одновременное применение методов дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализов, или разворачивать и сравнивать многообразие характеристик предмета (а, значит, и его самого) в различных ракурсах; это особенно важно для понимания сущности предмета.
Дискуссии и конференции. Методы