Аппроксимация (тезисы).
- 29.09.24 г.
- 9772225665000 24022
1, Общие положения.
Аппроксимация – это процедура, подразумевающая замену одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходному.
Аппроксимация позволяет изучать количественные и качественные характеристики объекта путем исследования более простых объектов.
Если некоторый объект (например, некоторая функция) слишком сложен, то его в ряде случаев можно заменить на схожий, но более простой, и одной из таких возможностей как раз и является аппроксимация.
Проще говоря, аппроксимация позволяет находить нечто близкое к исследуемому объекту, но более простое.
В частности аппроксимация функции – это нахождение совокупности кривых, близких к имеющемуся набору значений.
При аппроксимации функции необходимо вычислить ее значения в нескольких точках и использовать их для построения более простой функции. Конечно же, более простая функция не даст такого же точного результата, какой дает исходная функция, однако в ряде случаев увеличение скорости вычислений важнее, чем образующаяся погрешность, которая вычисляется и учитывается.
Разница между исходной «сложной» функцией и аппроксимирующей ее функцией называется остаточным членом и может рассматриваться как оценка погрешности аппроксимации.
Также можно дать такие определения аппроксимации.
Аппроксимация – это способ построения кривой, максимально приближенной к заданной.
Аппроксимация – это выбор приемлемого приближения для исходной «сложной» функции.
При этом нужно учитывать, что
– аппроксимация осуществляется на отрезке,
– при аппроксимации в общем случае аппроксимирующая функция не проходит через имеющиеся точки,
– ошибка аппроксимация не должна превышать определенного, наперед задаваемого значения.
2. Способы аппроксимации:
– метод наименьших квадратов,
– линейная аппроксимация,
– параболическая аппроксимация,
– экспоненциальная аппроксимация (замена функции показательной зависимостью),
– тригонометрическая аппроксимация (использование тригонометрических функций),
– полиномиальная аппроксимация (замена функции полиномом заданной степени),
– аппроксимация в виде степенной функции,
– аппроксимации сплайнами (например, с нефиксированными узлами),
– аппроксимация Паде (представление исходной функции в виде отношения двух полиномов – дроби, где коэффициенты числителя и знаменателя определяются с помощью разложения функции в ряд Тейлора).
3. Применение.
Аппроксимация используется, когда требуется получить функцию, удобную для вычислений и различных вспомогательных действий (иными словами, если удается иметь дело с более простой функцией, то исследования проводить будет легче).
Аппроксимация используется
а) для преобразования данных, например, диофантовы приближения,
б) при вычислениях, в частности:
– исчисление данных,
– исполнение типовых вычислений с меньшими затратами на вычисления: если значение функции вычисляется много раз в единицу времени и не нужна большая точность, то можно обойтись и более простым аналогом исходной функции,
– операции – дифференцирование, интегрирование и т.д.,
– численные методы анализа,
в) при исследованиях в различных дисциплинах и областях познания, в том числе
– в экономике – при моделировании экономических ситуаций, когда производится замена сложных экономических объектов более простыми,
– в электродинамике,
– в теории функций,
– в геометрии (например, аппроксимации кривых отрезками)
и т.д.,
г) при обработке входных данных, например, сигнала (приближенное его представление другими сигналами, обычно определяемыми суммами ряда Фурье),
д) при прогнозировании
и др.
В диалектике аппроксимация используются
– при предобработке данных,
– для выявления различений.
Аппроксимация для диалектики особенно важна в смысле изучения соотношений данных (функций) и осуществления обработки данных, что, собственно, является одним из переходов к диалектическому пониманию методов, математики и нейросетей.
4. В дискуссиях требуется акцентировать те положения или их аспекты, которые имеют значения для обсуждений
– различений методов и информационных технологий,
– аспектов новой математики, учитывающей качественные положения,
– новых выявляемых моментов нейросетей,
– диалектических аспектов прогнозирования.
Дискуссии и конференции. Методы