Интерполяция (тезисы).
- 05.10.24 г.
- 9772225665000 24023
1.Общие положения.
Интерполяция – это способ нахождения неизвестных значений рассматриваемой зависимости по совокупности выявленных значений.
Можно сказать по-другому: интерполяция – это нахождение промежуточных значений между двумя выявленными значениями зависимости.
Обычно речь идет о регламентированной зависимости – о функции.
Таким образом, интерполяция при наличии конкретных дискретных данных позволяет установить нужные значения и даже общий вид функции.
В идеале интерполяция – это способ выбора такой функции, которая проходит через заданные точки. В частности, можно сказать, что интерполяция – это такой вид аппроксимации, при которой кривая построенной зависимости (функции) проходит через выявленные значения зависимости – через узлы интерполяции (при аппроксимации в общем случае приближенная функция не проходит через имеющиеся точки).
Итак, при интерполяции искомая функция должна проходить через точки выявленной совокупности отдельных значений изучаемой зависимости, и интерполяция позволяет узнать, какое значение может быть в точке, отличной от выбранных.
Интерполяция – это способ оценки значения функции для любого значения независимой переменной в заданном интервале (а экстраполяция – это способ вычисления значения функции за его пределами).
Формально задача интерполяции определяется так: пусть дан набор точек xi и значений некой зависимости в них: yi. Задача интерполяции состоит в поиске такой функции f, что yi=f(xi).
Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполирования.
Обычно интерполирующую функцию ищут в виде полинома, который может быть представлен различными способами.
Интерполирующую функцию можно построить и в иных видах, например, экспоненциальном.
2. Способы интерполяции.
Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.
Другим способом интерполяции является интерполяция многочленами:
– линейная интерполяция – это простой и наиболее часто используемый вид интерполяции, который определяется тем, что выявленные значения зависимости соединяются прямолинейными линиями, а искомую функцию условно представляют в виде ломаной.
– квадратичная интерполяция использует многочлен второго порядка,
– первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона: они используются, когда набор точки xi распределены равномерно,
– метод конечных разностей: он основан на решении дифференциальных уравнений с учетом замены производных системой алгебраических уравнений.
– интерполяция по Лагранжу: она основана на применении интерполяционного многочлена Лагранжа, включая его итерационный способ вычисления (схема Эйткена) и сплайн-интерполяцию (например, кубический сплайн).
Тригонометрическая интерполяция основана на том, что любую непрерывно дифференцируемую функцию можно разложить в ряд Фурье. Обычно применяют следующие виды интерполяции:
– экспоненциальная,
– параболическая.
Обратное интерполирование: вычисление x при заданном y; оно применяется, когда промежуточное значение (yi) известно, и нужно установить аргумент (xi); для этого – для восстановления аргументов по набору значений – обычно используются полиномы.
Обратное интерполирование обеспечивает наиболее гладкую аппроксимацию и учитывает не только ближайшие значения, но и их соотношение. Однако полиномиальная интерполяция сложнее и требует значительных вычислительных затрат, особенно при большом количестве точек.
Некоторые виды обратного интерполирования:
– интерполяция полиномами Лагранжа,
– интерполяция по формуле Гаусса (строится с помощью интерполяционной формулы Ньютона),
Интерполяция функции нескольких переменных, в первую очередь,
– билинейная интерполяция
– бикубическая интерполяция.
Известны и другие способы интерполяции, например, рациональная интерполяция.
3. Применение.
Интерполяция является способом сглаживания и восстановления, основанным на анализе имеющихся данных и заполнении пропусков, которые возникают при неполной выборке измеряемых значений.
Интерполяция актуальна при доработке данных:
– предобработка данных (например, заполнение пробелов),
– восстановление данных,
– моделирование линии между двумя точками (например, траектории движения объекта),
– масштабирование цифровых изображений, когда требуется увеличить размеры изображения без потери качества,
– создание изображений, когда задаются цвета нескольким точкам и требуется, чтобы цвета остальных точек образовали плавные переходы между заданными,
– восстановление изображения.
Что касается изображений, интерполяция позволяет повышать их разрешение, улучшать их качество, увеличивать точность передачи деталей, восстанавливать потерянные детали и создавать более реалистичные и точные представления объектов.
Интерполяция для диалектики важна
а. в смысле бытия
– при изучении соотношений данных (функций),
– при дополнении данных,
– для осуществления обработки данных, что, кстати, является одним из переходов к диалектическому пониманию методов, математики и нейросетей.
б. в смысле сущности
– при восстановлении моментов бытия,
– для обнаружения всеобщих при определении понятия.
4. В дискуссиях требуется акцентировать те из обозначенных выше положений или их аспекты, которые имеют значения для обсуждений
– различений методов и информационных технологий,
– аспектов новой математики, учитывающей качественные положения,
– новых выявляемых моментов нейросетей,
– диалектических аспектов прогнозирования.
Дискуссии и конференции. Методы