Т: непрерывность функции.
- 06.01.19 г.
- 9772225665000 19001


В январские праздники усердно заниматься какими-либо серьезными исследованиями не с руки, но и отдыхать многие уже устали. Поэтому предложим вниманию посетителей сайта один интересный вопрос, который возник в декабре прошлого года при обсуждении дифференциала. Это  вопрос о непрерывности функции. Он имеет большое значение в разных аспектах: необходимо определиться, во-первых, с ним самим по существу, понять, как его решать, во-вторых, с математическим определением, в-третьих… Но, пожалуй рассмотрим лишь следующее положение, которое интересно своей постановкой и отражает все тонкости вопроса.

В математике непрерывность функции в целом понимается в смысле того, что малые изменения аргумента  приводят к малым изменениям значения функции. Формально дается такое определение: функция f(x) непрерывна в точке а, если для любого выбираемого сколь угодно малого приращения функции p всегда можно указать такой диапазон аргумента m, что значение функции от него в этом диапазоне меньше выбранного приращения: |х - а| < m    =>   | f(x) – f(a)| < p. Известны и другие аналогичные по сути определения, например через предел: при х стремящемся к а предел значений функции должен быть равен значению функции в а.
    Ну что ж, возьмем линейную функцию (пусть с коэффициентом 1) от рациональных чисел Q: f(q) = q. Очевидно, что для любого приращения функции достаточно взять его половину в качестве приращения аргумента, и любое математическое определение непрерывности будет исполнено, однако функция не является непрерывной.
    В чем же дело?
    Или как поступать? – либо как в математике, т.е. давать удобные определения, чтобы просто удовлетворить требованию сколь угодно малого приращения (хотя сколь угодно малые в математике не определены, см. «Проблемы наук: бесконечность»), и потом просто говорить, что функция непрерывна, но это будет по сути оговорка аргумента, так как в математическом определении функции фиксируется свойство, но не оговаривается «перенос» свойств аргумента на значение и др., либо как в диалектике: из понятия функции вывести сначала ее определение, затем понятие и определение ее прерывности и уже только потом для определенных задач (целей) частным образом формально (математически) определить непрерывность функции?..